Primero... infinito no es un número, al menos no uno que pertenezca a alguno de estos conjuntos tan conocidos:
Naturales (N): (0), 1, 2, 3, 4, 5, ...
Enteros (Z): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Los que se construyen después:
Racionales (Q)
Reales (R)
Complejos (C)
Y algunos menos conocidos:
Cuaterniones (H)
Octoniones (O)
Infinito no es un número en ninguno de estos conjuntos y no se puede operar con él.
En cálculo, tratando con límites, surge el concepto de infinito. Pero es un infinito muy especial, aunque se escribe y se "opera" con él... no es real, es una abreviatura para no tener que decir cada vez que el valor de la expresión crece sin límites.
Cuando aparecen cosas como las que comentais de INF / 0, no es más que una abreviatura para algo más largo, y en sí no tiene ningún sentido (si no se indica a qué corresponden los términos). En caso de que el infinito sea algo como:
limite 1/x
x->0
Y el 0 sea un 0 (nada de límites)... La respuesta es que no tiene límite y se podría escribir:
INF / 0 = INF
teniendo muy claro que está representando otras cosas.
Pensaba plantar aquí la prueba de la diagonal de Cantor de que card(R) > card(N) y hablar un poco de los números surreales, en los que el infinito sí es un número (bueno, muchos de hecho), y se pueden hacer gilipolleces como sacar la raiz cuadrada de infinito y cosas así. Pero sabiendo que se la suda a todo el mundo, lo reservo para otro post...